기하학적 큐브입니다. 큐브 대각선이란 무엇이며 어떻게 찾을 수 있습니까?

또는 6 면체)는 입체적인 그림입니다. 각면은 우리가 알고있는 것처럼 모든면이 같은 사각형입니다. 큐브의 대각선은 그림의 중심을 통과하고 대칭 정점을 연결하는 선분입니다. 정육면체에는 4 개의 대각선이 있고, 모두 대등합니다. 그림 그 자체의 대각선을 그 기저부에있는 얼굴이나 사각형의 대각선과 혼동하지 않는 것이 매우 중요합니다. 입방체의 대각선면은면의 중심을 통과하고 정사각형의 반대 정점을 연결합니다.

큐브 대각선 찾기 공식

규칙적인 다면체의 대각선은 기억 될 필요가있는 매우 간단한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. D = a√3, 여기서 D는 입방체의 대각선이고 가장자리입니다. 우리는 모서리의 길이가 2cm 인 것으로 알려진다면 대각선을 발견 할 필요가있는 문제의 예를 제시합니다. 여기서 모든 것은 단지 D = 2√3이므로 아무것도 고려할 필요가 없습니다. 두 번째 예제에서 입방체의 가장자리를 √3cm로 놓으면 D = √3√3 = √9 = 3이됩니다. 답 : D는 3cm입니다.

큐브면의 대각선을 찾을 수있는 공식

Diago 수식을 통해 얼굴을 찾을 수도 있습니다. 가장자리에있는 대각선은 단지 12 개이며 모두 동일합니다. 이제 우리는 d = a√2를 기억합니다. 여기서 d는 사각형의 대각선이고, 또한 입방체의 가장자리 또는 사각형의 측면입니다. 이 수식이 어디에서 왔는지 이해하는 것은 매우 간단합니다. 결국, 사각형과 대각선 형태의 두면이 있습니다.이 트리오에서는 대각선이 빗변의 역할을하고 사각형의 변은 길이가 같은 다리입니다. 피타고라스의 정리를 기억하면 모든 것이 즉시 자리를 잡을 것입니다. 이제 작업 : 육면체의 가장자리가 √8cm이므로 얼굴의 대각선을 찾아야합니다. 공식에 삽입하면 d = √ 8 √2 = √16 = 4가됩니다. 답 : 입방체 얼굴의 대각선은 4cm입니다.

입방체의 대각선면을 알고 있다면

문제의 조건에 따라, 우리는 √2 cm와 같은 정다각형의 정면의 대각선 만 주어지고 정육면체의 대각선을 찾아야합니다. 이 문제를 해결하기위한 공식은 이전 문제보다 약간 더 복잡합니다. 우리가 d를 안다면, 두 번째 수식 d = a√2에 기초하여 입방체의 모서리를 찾을 수 있습니다. 우리는 a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm를 얻습니다 (이것이 우리의 가장 자리입니다). 그리고이 양을 알고 있다면, 사면체 대각선을 쉽게 찾을 수 있습니다 : D = 1√3 = √3. 이것이 우리가 문제를 해결 한 방법입니다.

표면적이 알려진 경우

다음 해법 알고리즘은 대각선 길이가 72cm 2라고 가정하여이를 기반으로합니다. 먼저, 한 얼굴의 영역을 찾고 그 중 여섯 얼굴 전체를 찾아야합니다. 따라서 72를 6으로 나누어야하고 12 cm 2가됩니다. 이것은 한면의 영역입니다. 정다각형의 모서리를 찾으려면 공식 S = a 2를 회상 할 필요가 있습니다. 이것은 a = √S를 의미합니다. 대입하면 a = √12 (입방체의 모서리)가됩니다. 그리고 만약 우리가이 값을 안다면 대각선은 D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 답 : 입방체 대각선은 6cm입니다.

입방체 모서리의 길이가 알려진 경우

문제가 큐브의 모든 가장자리의 길이에만 주어지는 경우가 있습니다. 이 값을 12로 나눌 필요가 있습니다. 올바른 다면체의면 수입니다. 예를 들어, 모든 모서리의 합이 40이면 한면은 40/12 = 3.333과 같습니다. 첫 공식에 삽입하고 답을 얻습니다!

큐브의 가장자리를 찾아야합니다. 이것은 입방체의면의 영역, 입방체의 체적, 입방체의면의 대각선 및 입방체의 대각선에 의한 입방체 에지의 길이의 정의이다. 이러한 작업에 대한 네 가지 옵션을 모두 고려하십시오. (나머지 작업은 원칙적으로 삼각법의 위 또는 작업의 변형으로, 고려중인 문제와 매우 간접적으로 관련됩니다.)

입방체의 얼굴 영역을 알고 있다면 입방체의 모서리가 매우 단순하다는 것을 알 수 있습니다. 입방체의면은 입방체의 가장자리와 같은면을 가진 정사각형이기 때문에 그 면적은 입방체의 모서리의 제곱과 같습니다. 따라서 입방체의 가장자리 길이는 얼굴 영역의 제곱근과 같습니다. 즉,

및 - 입방체의 모서리 길이,

S는 입방체면의 면적입니다.

볼륨에서 큐브의 얼굴을 찾는 것이 훨씬 쉽습니다. 입방체의 부피가 입방체의 가장자리 길이의 3 배의 입방체와 같다고 가정하면, 입방체의 가장자리의 길이는 입방체의 3 차 (제 3도)의 루트와 같습니다. 즉,

및 - 입방체의 모서리 길이,

V는 입방체의 부피입니다.

알려진 대각선 길이를 따라 큐브 가장자리의 길이를 찾는 것이 조금 더 어렵습니다. 표시 :

및 - 입방체의 가장자리의 길이;

b - 큐브의면의 대각의 길이.

c - 큐브의 대각선의 길이

그림에서 알 수 있듯이 얼굴의 대각선과 입방체의 모서리는 직사각형의 정삼각형을 형성합니다. 그러므로, 피타고라스의 정리에 의하면 :

여기에서 우리는 발견 :

(추출해야하는 입방체의 가장자리를 찾으려면 제곱근 대각선 정사각형의 절반에서).

대각선을 따라 큐브의 가장자리를 찾으려면 패턴을 다시 사용하십시오. 입방체의 대각선 (c),면의 대각선 (b) 및 입방체의 모서리 (a)는 직각 삼각형을 형성합니다. 그래서, 피타고라스의 정리에 따르면 :

우리는 a와 b 사이의 위의 관계를 사용하고 공식에서 대체한다.

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. 우리는 얻는다 :

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, 우리는 다음과 같은 것을 발견한다.

3 * a ^ 2 = c ^ 2 따라서 :

입방체는 직각 평행 육면체이며 모든 모서리는 동일합니다. 따라서, 직육면체의 체적에 대한 일반 식 및 입방체 의 경우 그 표면적에 대한 공식 은 단순화된다. 또한 입방체 의 체적과 그 표면적이 그 안에 새겨진 볼의 양 또는 주위에 기술 된 볼의 양을 알면 알 수 있습니다.

너는 필요할거야.

• 정육면체 측면의 길이, 새겨지고 기술 된 공의 반경

지시 사항

직각 평행 육면체의 부피는 다음과 같습니다. V = abc - 여기서 a, b, c는 치수입니다. 따라서 입방체 의 부피는 V = a * a * a = a ^ 3과 같으며, a는 입방체 의 변의 길이입니다. 입방체 의 표면적은 모든면의 면적의 합과 같습니다. 입방체는 6 개의면을 가지므로 그 표면적은 S = 6 * (a ^ 2)입니다.

공이 입방체에 들어 맞도록하십시오. 분명히이 공의 직경은 입방체 의 측면과 같습니다. 입방체 가장자리 길이가 아닌 볼륨의 식에 직경 길이를 대입하고 지름이 반지름의 두 배와 같으면 V = d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3)이됩니다. 여기서 d는 내접원의 지름 r은 내접원의 반지름이다. 그러면 입방체 의 표면적은 S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2)가된다.

공이 정육면체 주위에 묘사되도록하십시오. 그 직경은 입방체 의 대각선과 일치합니다. 입방체 의 대각선은 입방체 의 중심을 통과하고 두 개의 반대 지점을 연결합니다.
큐브 의 첫 번째면을 고려하십시오. 이 패싯의 모서리는 직각 삼각형의 다리이며, 여기서 d면의 대각선은 빗변이됩니다. 그런 다음 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 구한다. d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

그 다음 빗변이 입방체 의 대각선이고,면 d의 대각선과 입방체 a의 모서리 중 하나가 삼각형 인 삼각형을 생각해보십시오. 마찬가지로, 피타고라스의 정리에 의해 우리는 다음을 얻는다. D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt
그래서 유도 된 공식에 따르면, 입방체 의 대각선은 D = a * sqrt (3)입니다. 따라서, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). 따라서 입방체 의 표면적은 S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6이된다. V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

종종 큐브의 가장자리를 찾아야하는 작업이 있습니다.이 작업은 볼륨, 패싯 영역 또는 대각선 정보를 기준으로 수행해야하는 경우가 많습니다. 큐브 가장자리를 정의하는 몇 가지 옵션이 있습니다.

이 경우 입방체의 면적을 알고 있으면 가장자리를 쉽게 결정할 수 있습니다. 입방체의면은 입방체의 가장자리와 같은면이있는 정사각형입니다. 따라서, 그 면적은 입방체의 정사각형 모서리와 동일하다. 수식을 사용해야합니다 : a = √S, 여기서 a는 입방체의 가장자리 길이이고 S는 입방체의 얼굴 영역입니다. 볼륨으로 큐브 가장자리를 찾는 것이 훨씬 간단한 작업입니다. 큐브 볼륨을 고려해야합니다. 큐브와 같음 (3도에서) 입방체의 가장자리의 길이. 가장자리의 길이는 볼륨의 입방체 루트와 같습니다. 즉, 다음 공식을 얻습니다. a = √V 여기서 a는 입방체의 가장자리 길이이고 V는 입방체의 볼륨입니다.

대각선으로 큐브의 가장자리를 찾을 수도 있습니다. 따라서, 우리는 a- 입방체의 가장자리의 길이, b- 입방체의면의 대각선의 길이, c- 입방체의 대각선의 길이. 피타고라스의 정리에 따르면, a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2이고, 여기에서 다음 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다. a = √ (b ^ 2 / 2), 입방체의 가장자리를 추출합니다.

다시, 피타고라스의 정리 (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2)를 사용하면, a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2의 관계를 얻을 수있다. 3 * a ^ 2 = c ^ 2, 그러므로, 입방체의 가장자리는 다음과 같이 얻어 질 수있다 : a = √ (c ^ 2 / 3).